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学科知识竞赛——每日一题[2007-11-11 21:10:00 | By: penglaoshi]
学科知识竞赛——每日一题
最小公倍数与最大公因数。会证明以下定理：
l 定理1：两个数的任意公因数都是这两个数的最大公因数的因数。
证明：设两个数为a、b ，a、b的公因数有：1，任意一个公有质因数，任意公有质因数的乘积
把a、b分解，a=r1.r2.r3……x，b=r1.r2.r3……y（其中r1、r2、r3…..为a、b公有的质因数，x、y分别为a、b各自的因数）,
所以a、b的公因数有：1、r1、r2、r3、r1.r2、r1.r3……（1）
设（a，b）＝r1.r2.r3……=m，可证得r1│m, r2│m,r3│ma,r1. r2│m……即任意一个公有质因数以及任意公有质因数的乘积都是m的因数 ，1是m 的因数 （2）
综合（1）、（2），可得，两个数的任意公因数都是这两个数的最大公因数的因数。
l 定理2：两个数的任意公倍数都是这两个数的最小公倍数的倍数。（证明方法同上）
l 定理3：两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两个数的积。
证明：设两个数为a、b ，a=r1.r2.r3……x，b=r1.r2.r3……y（其中r1、r2、r3…..为a、b公有的质因数，x、y分别为a、b各自的因数）,
（a，b）＝r1.r2.r3…..=m，[a，b]＝r1.r2.r3……x.y=m.x.y=n
那么a.b=m^2.x.y,(a,b)[a,b]=m.n=m^2.x.y,
所以a.b=(a,b)[a,b]
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